Donkey Theorem

このdonkeyという言葉は，ロバという意味の他に「バカ」という意味もあり，ロバの別名であるassは俗語で「尻」という意味もあります．三角形の合同条件のひとつとして，「2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい（SAS=Side-Angle-Side）」が知られていますが，「2組の辺とその間にない角がそれぞれ等しい（ASSまたはSSA）」という条件は，図のようにambiguous case（一意に定まらない場合）になります．これが合同条件として成り立たないということと，donkeyとassの意味とを掛けて，donkey theoremと呼んでいます．これはバカにして呼んでいるので，正しく成り立つ定理の名称ではありません．

    

  

  

三角形の辺と角の関係を細かく分類してみましょう．すべて最後に「がそれぞれ等しい」を省略しています．

①SSS=SSS 「3組の辺」 congruent（合同）
「直角三角形の斜辺と他の1辺」は三平方の定理を既知とすればもう１辺はすぐに求められるのでここに含まれます．

②SAS=SAS 「2組の辺とその間の角」 congruent
ドイツの数学者ヒルベルトDavid Hilbert (1862–1943) は著書「幾何学基礎論」の中で，これを三角形の合同公理としています．

③ASS=ASS 「2組の辺とその間にない対応する角」 ambiguous case
上図左の場合です．角辺辺の順で等しい三角形が2つできます．

④ASS=SSA 「2組の辺とその間にない対応しない角」 ambiguous case
上図右の場合です．角辺辺と辺辺角が等しい三角形が2つできます．

⑤ASA=ASA 「2組の角とその間の辺」または「1組の辺とその両端の角」 congruent
内角の和は180ºなので自動的に3組の角が等しくなり，2つの角の間の辺は対応する辺なので，三角形は１つに決まります．

⑥AAS=AAS 「2組の角とその間にない対応する辺」 congruent
自動的に3組の角が等しくなり，対応する辺が等しいので，三角形は１つに決まります．「直角三角形の斜辺とひとつの鋭角」といいう条件はここに含まれます．「直角三角形の斜辺と他の1辺」も三平方の定理を既知としない場合は，一方を裏返して「他の１辺」を重ねて二等辺三角形を作り，その底角が等しくなることから，「直角三角形の斜辺とひとつの鋭角」という条件になるので，ここに含まれます．

⑦AAS=SAA 2組の角（自動的に3組）とその間にない対応しない辺 similar（相似）

⑧AAA=AAA 3組の角（2組の角で十分） similar

因みに米国では，ロバはDemocrats（民主党）のシンボルになっていて「家庭」を象徴しているのに対し，Republican（共和党）のシンボルはelephant（ゾウ）で「知識と力」の象徴だそうです．